天気予報を支える方程式
数学は、大きく4つの分野に分けることができる。代数学、幾何学、解析学、そして応用だ。基幹理工学部 数学科の小薗英雄教授は、解析学、とくに微分方程式を専門としている。
「私の研究テーマは非線形偏微分方程式です。具体的には、流体の運動を記述するナビエ-ストークス方程式の数学的な研究を行っています。微分方程式は初期条件と境界条件を与えて解を求めますが、では、どういった初期条件なら解が一意に定まるのか、初期条件の集合を広く取ったらどうなるのか、条件が近ければ解も近いのか……、そういった微分方程式の適切性について研究しています」（小薗教授）
ナビエ-ストークス方程式を用いると、水や空気といった流体が時間経過とともにどのように変化するかを表すことができる。流体力学では基本的な方程式で、工学の領域で広く用いられているが、じつは、私たちの生活に欠かせないところでも使われている。そのひとつが天気予報だ。
天気とは、ある時刻、ある地点の大気の状態を表すもので、具体的には気温、気圧、風向、風速、雲量、降水量などの物理量で表される。そして、それらの物理量が時間経過によってどのように変化するかを求め、将来の大気状態を予測するのが天気予報である。
「大気の動きは、完全に流体力学です。明日どこに風が吹くのか、気温や気圧はどう変化するかといった物理量が、ナビエ-ストークス方程式を用いて解くことで予想できます。計算自体はコンピューターがやりますが、その計算が正しいことを保証するのが数学です。初期条件や境界条件が与えられたとき、きちんとＴ秒後の天気が予想できるのか。わかりやすくいえば、そういったことをやっています」（小薗教授）
ナビエ-ストークス方程式の“未解決問題”
身近なところでも用いられているナビエ-ストークス方程式だが、数学的には未解決の問題が残っている。これについて、小薗教授が次のように説明してくれた。
「ナビエ-ストークス方程式は、条件を狭い範囲に限定すれば解けますが、条件が広くなると解けなくなります。例えば、流体の粘性が小さくなると乱流となり、初期条件の範囲が広くなります。逆に粘性が大きく、初期の乱れが少なければ、条件の範囲も狭くなるので、その動きを未来にわたって解くことができます。どんなに粘性が小さくても、どんなに初期状態が乱れていても、つまり、どんな初期条件を与えても解けることを数学的に証明したいわけです」（小薗教授）
じつは、この問題は「ミレニアム懸賞問題」のひとつでもある。ミレニアム懸賞問題は、アメリカのクレイ数学研究所によって2000年に発表された、数学上重要な7つの未解決問題だ。そのうちのひとつ「ポアンカレ予想」はすでに解決済みで、残りの6つが未解決のまま残されている。もしこの問題が解決したら、どんなことになるのだろう？
「ナビエ-ストークス方程式はかなり信頼されている方程式で、それによって完全に流体が支配されています。つまり、未来永劫にわたって天気予報ができるということですね」（小薗教授）
数学は自然科学を説明する言語
微積分はアイザック・ニュートンが生み出したもので、もともとは物理現象を数学で記述したいという動機から考え出された。そのため、数学と物理学は密接な関係にあり、相互発展してきたという歴史がある。
「ケプラーは、惑星が楕円軌道を描いていることを観測から発見し、ニュートンはそれを数式で表してみせました。惑星の運動が方程式ひとつでバシッと出てくる、これは物凄いことです。このように、物理学で発見した現象をモデル化したり解いたりするのが数学で、それが我々の最終的な目標です。その意味で、数学は自然科学を説明するための言語といえると思います」（小薗教授）
「私がやっている分野は純粋数学ですから、直接的に社会の役に立つことが目的ではありません。もちろん、結果として役に立つことはあると思いますが、それが目的ではない。でも、自然科学ってそういうものですよね。例えば、暗号には素数が使われますが、暗号をつくりたくて素数の研究をしているわけではないわけです」（小薗教授）
では、研究のモチベーションは何かとの質問に、「かっこよく言えば真理の探究です」と答えた小薗教授。最後に、今後の展望について伺った。
「ナビエ-ストークス方程式はミレニアム問題にもなるくらいですから、そう簡単に解ける問題ではないのですが、最終的には、どんな初期条件を与えても解けることを証明したいと思っています。最近、条件の範囲をあまり広げすぎると解けなくなるといったことがよく研究されています。ですから、どこまでなら広げられるのか、条件の閾値、境目を見つけたいと思っています」（小薗教授）
プロフィール
小薗英雄 教授（基幹理工学部 数学科）
こぞの・ひでお／1958年生まれ。81年北海道大学理学部数学科卒、87年同大学院理学研究科博士課程修了。理学博士。93年名古屋大学助教授、99年東北大学教授などを経て、12年早稲田大学理工学術院教授。02年ドイツ大統領からシーボルト賞を贈られる。14年日本数学会賞秋季賞、16年文部科学大臣表彰・科学技術賞を受賞。専門は非線形偏微分方程式。
所属学会
日本数学会
Equations That Support Weather Forecasts
Mathematics can be divided into four overarching fields: algebra, geometry, analysis, and practical applications. Professor Hideo Kozono is part of the Department of Mathematics within the School of Fundamental Science and Engineering. He specializes in analysis, particularly using differential equations.
“The theme of my research is nonlinear partial differential equations. More specifically, I’m doing mathematical research on the Navier-Stokes equations, which describe the motion of fluids. Differential equations are specified through initial or boundary conditions, which you use to solve them. So, what kinds of initial conditions will uniquely determine a solution? If we take a broad set of initial conditions that are similar, will the solutions also be similar? These kinds of questions—the relevance of differential equations—are what I’m studying,” Prof. Kozono shared.
Navier-Stokes equations can show us how fluids—such as water and air—change over time. These equations are commonplace in fluid mechanics and used extensively in the field of engineering, but they’re actually an essential part of our daily lives too. One place they’re used is in weather forecasts.
Weather is the state of the atmosphere in a given time and place. Namely, it’s air temperature, atmospheric pressure, wind direction, wind speed, cloud cover, and precipitation described in physical quantities. Weather forecasts determine how those physical quantities will change over time to predict future atmospheric conditions.
“How the atmosphere moves are entirely described by fluid dynamics. We can create and solve Navier-Stokes equations to predict physical quantities like the direction the wind will blow in tomorrow and how the air temperature and atmospheric pressure will change. Computers do the actual calculations, but mathematics is what ensures those calculations are correct. So, when initial or boundary conditions have been specified, can we predict the weather correctly in X number of seconds? In simple terms, that’s what I’m working on,” explained Prof. Kozono.
The “Unsolved Problem” of Navier-Stokes Equations
Although Navier-Stokes equations are used all around us, some problems using them remain mathematically unsolved. Prof. Kozono explained this as follows:
“Navier-Stokes equations are solvable when the conditions are limited to a narrow range, but they become impossible to solve as that range is widened. As an example, the less viscous a fluid is, the more turbulent it is and the more the range of initial conditions widens. Conversely, if a liquid is highly viscous and the initial turbulence is low, the range of conditions will be narrow and we can figure out how it’ll move in the future. What I want to demonstrate mathematically is that we can solve any of these equations, no matter how low a liquid’s viscosity is or how turbulent it is initially—basically, no matter what the initial conditions are.”
This problem is actually also one of the Millennium Prize Problems. The Millennium Prize Problems are a series of seven unsolved problems that are important in mathematics. They were selected by the US’ Clay Mathematics Institute in 2000. One of them—the Poincaré conjecture—has been solved, but the other six remain unsolved. What would happen if someone solved this problem?
Prof. Kozono had this to say: “Navier-Stokes equations are quite reliable ones that show us a complete picture of how fluids move. In other words, we could use them to forecast the weather for eternity.”
Mathematics: A Language That Explains Natural Science
Isaac Newton originally invented calculus because he wanted to find a way to describe physical phenomena using mathematics. Thus, mathematics and physics have long been closely related, and they developed in tandem over time.
“Kepler discovered that planets have elliptical orbits by observing them, and Newton tried to represent that in a mathematical expression. He described how the planets move perfectly with a single equation, which is truly amazing. As with that example, we use mathematics to model and understand the phenomena discovered through physics. That’s our end goal. So, I think you can definitely call mathematics a language that explains natural science,” Prof. Kozono remarked.
“I work in pure mathematics, so my goal isn’t to be helpful to society directly. Sometimes the results may end up being useful, but that’s not why I do what I do. That’s how it goes with natural science, though. Prime numbers, for example, are used in encrypting, but that doesn’t mean that we research them to create ciphers,” he explained.
When asked what motivates his research, Prof. Kozono answered, “A cool way to say it is that I’m searching for the truth.” Finally, he told us about his future prospects.
“Navier-Stokes equations are complex enough to be Millennium Problems, so they’re obviously not very easy to solve, but I want to prove that they can be solved no matter what the initial conditions are. Recent research has clearly shown that these equations are impossible to solve when the range of conditions is too wide, so I want to find the threshold—or the limit—that they can be widened to,” he said.
Profile
Professor Hideo Kozono
Department of Mathematics, School of Fundamental Science and Engineering
Born in 1958, Prof. Kozono graduated from the Mathematics Department in the School of Science at Hokkaido University in 1981. He went on to receive a Doctor of Science degree upon completing the doctoral course at the same university’s Faculty of Science in 1987. He became an associate professor at Nagoya University in 1993, and in 1999, he become a professor at Tohoku University. He then moved through other various positions before becoming a professor at Waseda University’s Faculty of Science and Engineering in 2012. Germany’s president awarded him the Philipp Franz von Siebold Award in 2002. He received the Autumn Prize from the Mathematical Society of Japan in 2014, and in 2016, he received a Commendation for Science and Technology from MEXT. He specializes in nonlinear partial differential equations.
Academic affiliations:
The Mathematical Society of Japan
