Comprehensive Research Organization早稲田大学 総合研究機構

その他

流体数学研究所
Institute of Mathematical Fluid Dynamics

研究テーマ

流体数学研究とその応用

分野:科学

研究概要

本研究では、流体数学研究者と流体力学研究者の連携により、流体ダイナミクスに現れる階層構造と特異現象の解明を目的とする。流体の運動はマクロな時空間スケールでの理想化された連続体モデルを基にしており、数学的にはナヴィエ・ストークス方程式によって記述できるが、その解の存在・一意性、及び大域的な構造は未だ十分に明らかにされておらず、乱流やキャビテーションのような特異現象の解明に根本的な課題を提起している。本研究では、キャビテーション解明をマクロのレベルから行うことを一つの例として、ナヴィエ・ストークス・フーリエ方程式の自由境界問題とその関連分野について、関数解析、フーリエ解析、実解析、大域幾何学などの数学の方法を横断的に用いて進めることを一つの柱とする。
一方キャビテーションのような特異現象の解明にはマクロ構造の研究だけでは不十分である。即ち流体力学が本質的に有する時空間のマルチスケール性、すなわちミクロとマクロを繋ぐ階層構造の解明を行う必要がある。現時点では階層構造を超えた適切な数学が存在しない。そこでキャビテーションの初生から崩壊に至る非定常過程の数学的な解明を行うことを目標として、まずメゾレベルの構造を理解するための高精度実験を実施する。さらに、それから得られる知見に基づいて確率項を含むナヴィエ・ストークス方程式の提案を行い、その数学解析手法を確立する。また大域幾何学に基づいた変分解析を通して、流体ダイナミクスに現れる階層構造と特異現象の解明を目指す。
以上の研究を数値解析の面から支えるために、有限要素法を基盤とする自由境界問題の数値解析、確率項を含む流体方程式の数値解析手法の開発を行う。
研究の実施には、数学と理工学の緊密な連携が不可欠であり、理の上に立つ工学を建学の理念とする早稲田大学理工学術院ならではの研究をめざす。

研究報告

【2017年度】
2相問題に対し相転移がある場合とない場合それぞれNavier-Stokes-Fourier-Kortweg方程式を基盤とし,質量保存,運動量保存,エネルギー保存,エントロピー増大条件を保つよう2相間のジャンプ条件を導出し問題の定式化を行った.
R-有界な解作用素の存在を示し,作用素値積分掛け算作用素に対するL.Weisの理論を用いて最大正則性原理を示す方法をさらに発展させ,Navier-Stokes方程式の自由境界問題のみならず,磁気流体方程式の2相問題,Stefan-Maxwel-Navier-Stokes方程式の2種混合流体,液晶の運動に関するQ-tensor modelの時間局所解の一意存在定理を示した.
R-有界な解作用素の理論とゼロ固有値付近での方程式系のスペクトル解析を組み合わせ,減衰度を含んだ最大性正則性原理を示す方法を確立した.有界領域,外部領域におけるNavier-Stokes方程式の1相問題の時間大域的解の一意存在と解の漸近挙動を示した.
ミクロの視点からの圧縮性や熱交換を伴うNavier-Stokes方程式の定式化が研究課題であるが,これには流体運動に加えて熱力学的な過程を考慮した変分構造の解明が不可欠である.特に熱力学的な過程は一般に非平衡かつ非線形な動的過程として与えられ,解析力学の基礎となるハミルトン原理からは運動方程式を導出する事はできない.2017年度はまず有限次元の非平衡熱力学系として熱の出入りピストンや,拡散現象などの変分構造を理解した.また変分構造に確率項を導入することを考察した.
自由境界面を扱う数値解析では弱解による定式化では十分でない.微分可能な解をとらえる為,滑らかな補間関数を用いることが出来る新しい計算手法であるアイソジオメトリック解析による混相流の数値解析の研究を始めた.
 また,今年度も引き続き,基幹理工学研究科 数学科・応用数理学科,スーパーグローバル大学創成支援数物系科学拠点,日独共同大学院プログラム「流体数学」らと協力して,以下のイベントを開催した.
・第10~16回早稲田大学数学・応用数理談話会
※詳細は数学・応数科のセミナー記録(http://www.math.sci.waseda.ac.jp/math/past_colloquium/)参照.
・2017年7月24日〜28日 International Workshop on “Fundamental Problems in Mathematical and Theoretical Physics”(http://www.sgu-mathphys.sci.waseda.ac.jp/event.html)
・2017年11月28日〜12月1日 International Workshop on the Multi-Phase Flow; Analysis, Modeling and Numerics(http://www.sgu-mathphys.sci.waseda.ac.jp/workshop/1711/)
・2017年12月29日 Workshop on Hyperbolic and Parabolic Systems(http://www.sgu-mathphys.sci.waseda.ac.jp/event.html)
・2018年1月9日〜12日 第15回日独流体数学国際研究集会(http://www.japan-germany.sci.waseda.ac.jp/event/201801/)
・2018年3月12日〜13日 Japanese-Indonesian International Workshop on Mathematical Fluid Dynamics(http://www.japan-germany.sci.waseda.ac.jp/event/201801/)

【2016年度】
 昨年までに構築した最大正則性原理とスペクトル解析の精緻な組み合わせによる理論は主に有界領域と全空間であったが,2016年度は外部領域における自由境界問題に拡張し,時間大域解の一意存在と漸近挙動を示した.これによりキャビテーション問題の数学的に厳密な理論構築の手がかりをつかんだ.またナヴィエ・ストークス・コルトベーグ方程式を用いて2相問題における相転移問題を研究することを開始した.これによりナヴィエ・ストークス・フーリエ方程式では相転移問題を数学的に厳密的には記述できないことが2014年度のJan Pruess等の結果によりわかっていたことへの改良をめざす.実際,水と氷,水と水蒸気などが入り混じった混相流の運動は工学的にも気象学的にも重要であり,世界的に重要な課題であるが,数学的に厳密なアプローチは始まったばかりであり,2017年度も引き続き中心的な課題として研究を続ける.
 非平衡熱力学系としての熱の出入りピストン, 拡散現象・物質交換のある生体膜のダイナミクスの解析を通し, 多成分系の流体力学の変分構造を解析し, 古典的なマクセル・ステファン・ナヴィエ・ストークス方程式の現代的な導出方法を確立した. またマクセル・ステファン・ナヴィエ・ストークス方程式の初期値・境界値問題に対して時間局所解の一意存在と小さな初期値に対する時間大域解の一意存在と解の漸近挙動を示した.
 原子力苛酷事故における粒子法によるEx-Vessel 溶解物挙動の理解を深化するための研の手始めとして, Poisson括弧と散逸括弧による3次元渦度方程式を定式化し, Mimetic Finite Differenc法により渦度方程式の離散化を行った.
 また,今年度も引き続き,基幹理工学研究科 数学科・応用数理学科,スーパーグローバル大学創成支援数物系科学拠点(http://www.sgu-mathphys.sci.waseda.ac.jp/),日独共同大学院プログラム「流体数学」(http://www.japan-germany.sci.waseda.ac.jp/)らと協力して,以下のイベントを開催した.
・2016年5月26日 第7回 早稲田大学 数学・応用数理談話会
・2016年6月30日 第8回 早稲田大学 数学・応用数理談話会
・2016年7月14日 第9回 早稲田大学 数学・応用数理談話会
※詳細は数学・応数科のセミナー記録
(http://www.math.sci.waseda.ac.jp/math/past_colloquium/)参照.
・2016年7月18日〜7月22日 International Workshop on “Fundamental Problems in Mathematical and Theoretical Physics”(http://www.sgu-mathphys.sci.waseda.ac.jp/event.html)
・2016年11月7日〜11月11日 International Workshop on the Multi-Phase Flow; Analysis, Modeling and Numerics(http://www.sgu-mathphys.sci.waseda.ac.jp/workshop/1611/)
・2016年3月8日〜3月10日 第14回日独流体数学国際研究集会(http://www.japan-germany.sci.waseda.ac.jp/event/201703/)

【2015年度】
標記のことについて以下簡単にまとめる。

・ナヴィエ・ストークス方程式の自由境界問題については、線形化方程式の数学的一般論を確立し、一般領域での時間局所解の一意存在、有界領域での時間大域解の一意存在を示した。またネマチック液晶を記述する方程式に対して非有界領域での時間大域解の一意存在を示した。以上の研究を通し最大正則性原理とスペクトル解析の精緻な組み合わせによる理論構築に成功し、今後のこの分野の研究に新しい側面を開いた。
・その他確率非線形偏微分方程式の解の存在、また大域幾何学の方法により非ニュートン流体であるRivlin-Ericksen流体の定式化を行った。

また、基幹理工学研究科 数学科・応用数理学科、スーパーグローバル大学創成支援数物系科学拠点(http://www.sgu-mathphys.sci.waseda.ac.jp/)、日独共同大学院プログラム「流体数学」(http://www.japan-germany.sci.waseda.ac.jp/)らと協力して、以下のイベントを開催した。
・2015年5月28日 第2回 早稲田大学 数学・応用数理談話会
・2015年7月16日 第3回 早稲田大学 数学・応用数理談話会
・2015年10月8日 第4回 早稲田大学 数学・応用数理談話会
・2015年12月3日 第5回 早稲田大学 数学・応用数理談話会
・2015年5月28日 第6回 早稲田大学 数学・応用数理談話会
※詳細は数学・応数科のカレンダー(https://calendar.google.com/calendar/[email protected]&ctz=Asia/Tokyo&pli=1)参照。
・2015年9月28日〜10月3日 International Workshop on “Fundamental Problems in Mathematical and Theoretical Physics”(http://www.sgu-mathphys.sci.waseda.ac.jp/event.html)
・2015年11月10日〜11月13日 International Workshop on the Multi-Phase Flow; Analysis, Modelling and Numerics (http://www.sgu-mathphys.sci.waseda.ac.jp/workshop/1511/)
・2016年3月1日〜3月4日 第12回日独流体数学国際研究集会(http://www.japan-germany.sci.waseda.ac.jp/event/201603/)

所長

柴田 良弘[しばた よしひろ](理工学術院教授)

メンバー

【研究所員】
柴田 良弘(基幹理工学部教授)
小澤 徹(先進理工学部教授)
小薗 英雄(基幹理工学部教授)
手塚 亜聖(基幹理工学部准教授)
柳尾 朋洋(基幹理工学部教授)
山崎 昌男(基幹理工学部教授)
吉村 浩明(基幹理工学部教授)

連絡先

[email protected]

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