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UBIAS Workshop / 秋吉亮太(Ryota Akiyoshi)

「考える」ことを数学的に哲学する、現代の論理哲学
Modern logical philosophy that transforms the act of thinking into mathematical philosophy

  • 2003年3月慶應義塾文学部卒業、2005年3月同文学研究科前期博士課程修了、2010年3月同研究科後期博士課程修了。同大学グローバルCOE「論理と感性の先端的教育研究拠点」特任助教(2010年4月~2012年3月)、日本学術振興会特別研究員PD(京都大学)(2012年4月~2015年3月)を経て、2015年4月より早稲田大学高等研究所助教に就任、現在に至る。プロフィール詳細

    Graduated from the Faculty of Letters of Keio University in March 2003, and completed the Master’s course in March 2005 and the Doctoral Program in March 2010 at the Graduate School of Letters of the same university. He has served as Assistant Professor in the Global COE Centre for Advanced Research on Logic and Sensibility, Keio University (April 2010 – March 2012), and as postdoctoral fellow at the Japan Society for the Promotion of Science (Kyoto University) (April 2012 – March 2015). Since April 2015, he has been appointed as the Assistant Professor at the Waseda Institute for Advanced Study.for more detail

人間を他の動物と分かつひとつの側面は、「ものを考える」ことにある。人間がどのように思考するか、論理の形式や法則を考察する「論理学」は、古代ギリシアの哲学者たちをも惹きつけた知的営みのひとつだ。論理学は二千数百年の時を経て、数学と密接な関係を持つようになった。それが、「数理論理学」とも呼ばれる「現代の論理学」だ。

One of the aspects that differentiates human beings from other animals is the act of thinking. The study of logic, which considers how human beings think and examines the forms and laws of theory, is one of the intellectual activities that had attracted even philosophers of ancient Greece. After a period of two thousand and several hundred years, the study of logic has begun to develop an even closer relationship with mathematics. This takes the form of modern logical philosophy, which is also known as mathematical logic.

「論理」とは何かを考える

Considering what “logic” is

いかにしてものを考え、論理を組み立てるか――。古代ギリシアの哲学者アリストテレス(紀元前384-紀元前322)以来、「論理学(logic)」は哲学における主要なひとつの分野です。

論理の典型と言えるのが「数学(math)」の証明です。私たちが日常的に使う自然言語にも論理の要素は含まれていますが、自然言語によるコミュニケーションは、書き言葉にせよ話し言葉にせよ、相手の言葉の意図を汲み取る憶測や解釈を含み、論理の構造や論理とは何かを考えるには不向きです。その不便さに気がついたフレーゲ(1848-1925)という数学者・論理学者・哲学者によって、論理学に数学の手法が取り入れられ、「数理論理学(mathematical logic)」とも呼ばれる現代の論理学が創始されました。それが、今から130年ほど前のことです。

このとき論理学と結びついた数学も、伝統的に哲学と近しい関係にありました。「近代哲学の祖」と言われるデカルト(1596-1650)は数学者としても恵まれた才能を発揮していましたし、ニュートン(1642-1727)と同時期に微分・積分法を確立したライプニッツ(1646-1716)も、哲学者として多くの業績を残しています。また、一般的には哲学者としての知名度が高い、「現象学」を提唱したフッサール(1859-1938)も、数学で博士号を取得し、論理学の研究にも取り組んでいました。

「現代論理学」には数式が登場し、数学の一分野とされることも多いのですが、その背景には西洋の哲学や論理学の伝統が脈々と流れています。私自身も、「論理とは何か」という哲学的な関心から、この分野に足を踏み入れました。

How do we think about things, and build up a framework of logic? After the time of Aristotle, a philosopher of ancient Greece (384 BC – 322 BC), the study of logic has become one of the key areas of philosophy.

Mathematical proof could be described as a typical example of logic. Elements of logic are also contained in the natural languages that we use from day to day, but communication through natural language, be it spoken or written language, includes speculation and interpretation in order to extract the intentions behind the other party’s words. Hence, it is unsuitable for use in thinking about the structure of logic and what logic is. Frege (1848 – 1925), a mathematician, logician, and philosopher, realized how inconvenient language was, and incorporated mathematical methods into the study of logic. This was the origin of the study of modern logic, which is also known as “mathematical logic.” This took place as far back as 130 years ago.

At this time, the mathematics that was linked with the study of logic also had a close relationship with traditional philosophy. Descartes (1596 – 1650), known as the “father of modern philosophy,” also demonstrated the talents he had been blessed with as a mathematician, while Leibniz (1646 – 1716), who established the differential and integral methods at the same period as Newton (1642 – 1727, also left behind a track record of numerous achievements as a philosopher. Husserl (1859 – 1938), who is generally renowned as a philosopher and who had propounded phenomenology, held a doctoral degree in mathematics while also pursuing research of logic.

While mathematical formulas appears in the study of modern logic, and the discipline is often regarded as an area of mathematics, the traditions of Western philosophy and the study of logic flow uninterrupted through its history. Personally, I also entered this field of research due to a philosophical interest in the question of what logic is.

現代の論理学を切り拓いた先人たち

Our predecessors who had paved the way to the study of logic in the modern day

「現代論理学」の礎をつくったフレーゲ(1848-1925)は、「無限」を正確に記述する論理的な言語を発明し、数学的な証明の構造についてはじめて厳密に検証しました。その成果は1879年に出版した『概念記法』にまとめられ、論理学の分野にアリストテレス以来の革新をもたらしました。

「無限」は「集合」と密接な関係にあり、昔から哲学や数学における主要な命題です。たとえば、西洋哲学史に偉大な名を刻むカント(1724-1804)も、彼の主著『純粋理性批判』において「無限」について論じています。同書においてカントは、人間の思考が陥りやすい罠として、相反する命題が同時に成立しうる「アンチノミー(二律背反)」を指摘、そのひとつに「宇宙は有限であるとも無限であるとも考えられる」というアンチノミーを挙げ、そのなかで「無限」とは何かを考察しました。

フレーゲが確立した体系は、ラッセル(1872-1970)、ブラウワー(1881-1966)、ヒルベルト(1862-1943)といった数学者・論理学者・哲学者たちに批判的に継承され、「現代論理学」の土台をつくるに至ります。また、フレーゲの研究は、言語の形式を分析することで哲学的な問題にもアプローチする「言語哲学(分析哲学)」という分野をも切り拓きました。その流れのなかで、フレーゲやラッセルの影響を強く受けて登場したのが、偉大な言語哲学者ウィトゲンシュタイン(1889-1951)です。

「現代論理学」はその後大きな広がりを見せ、数学的側面に関して言えば、いまでは大きく4つ分野があります。証明の構造を解き明かす「証明論」、数学的な構造と形式言語の関係性を解析する「モデル理論」、計算とは何かを探求し、コンピュータ誕生の理論的土台になった「計算論(再帰理論)」、「集合」を研究対象とする「集合論」の4つです。それぞれの分野における代表的な人物は、「証明論」では、「数理論理学」の基礎を築いたヒルベルト、「モデル理論」では、その創始者とされるタルスキ(1901-1983)の名が挙げられます。「計算論」では、コンピュータ誕生に多大な功績を残したチューリング(1912-1954)がもっとも有名かつ重要で、「集合論」でも、その創始者カントール(1845-1918)の名が知られています。

Frege (1848 – 1925), who had built the foundation for the study of modern logic, invented the logical language for accurately describing the concept of “infinity,” and was the first to conduct a rigorous validation on the structure of mathematical proof. The results of his work are summarized in Begriffsschrift (“Concept Writing”) published in 1879, bringing innovation to the field of logic since the time of Aristotle.

“Infinity” is closely related to the idea of “sets,” and has been the main proposition in philosophy and mathematics from the past. For example, Kant (1724 – 1804), who carved out a great name for himself in the history of Western philosophy, also discussed “infinity” in his key work, Critique of Pure Reason. In this book, Kant pointed out that the thoughts of humans are an easy trap to fall into, and that a contradictory proposition can possibly be established at the same time. This is known as “antimony” (self-contradiction). One of the antimonies that he raised was the idea that the universe can be considered to be finite as well as infinite, and he examined what “infinity” was within the framework of this concept.

The system that Frege established was critically inherited by mathematicians, logicians, and philosophers—Russell (1872 – 1970), Brouwer (1881 – 1966), and Hilbert (1862 – 1943), and extended to the building of a foundation for the study of modern logic. Frege’s research also paved the way to the development of a discipline known as “linguistic philosophy” (analytic philosophy), which also approached philosophical problems by analyzing the forms of language. Following this flow of events, the great linguistic philosopher Wittgenstein (1889 – 1951) emerged on the scene under the strong influence of Frege and Russell.

After that, the study of modern logic became widespread, and its mathematical aspect is broadly categorized into four areas today. These are: proof theory, which elucidates the structure of proof; model theory, which analyzes the relationship between mathematical structure and formal language; computation theory (recursion theory), which explores what computation is and served as the theoretical basis for the birth of computers; and set theory, which researches and studies sets. The representative figures in each of these fields are: for proof theory, Hilbert, who built the foundation for mathematical logic; for model theory, Tarski (1901 – 1983), who is said to be the originator of the theory; for computation theory, Turing (1912 – 1954), who left his mark with many achievements in the birth of the computer, is the most famous and most important; for set theory, the originator Cantor (1845 – 1918) is well-known.

哲学と数学、ふたつの眼差し

Two perspectives of philosophy and mathematics

このように「現代論理学」は、哲学と数学にまたがる文理の中間、あるいは融合領域の学問と言えます。そのなかで私自身は、論理学と哲学への関心を強く持っています。前者の視点では主に「証明論」そのものの研究に取り組み、後者の視点では、ブラウワーやヒルベルト、フレーゲやフッサールといった先人たちがどのように「証明論」に取り組んだか、彼らの「論理哲学」を探求しています。

哲学そのものが普遍的な主題を扱う学問であり、直接的な研究テーマ以外にもさまざまなことに関心があります。その意味で、高等研究所に籍を置いて研究を続けられるありがたさを日々感じています。ここには文理問わずさまざまな分野の研究者が集まっており、異分野の研究者の話を直接聞く機会に恵まれているからです。 その貴重な場となっているのが、月に一回、所属する40名ほどの研究者が一堂に介する「月例研究会」です。90分のあいだに2名の研究者が自身の研究を発表し、質疑応答が行われます。異分野の研究は、少し話を聞いただけでは深く理解できないこともありますが、論理の立て方そのものを研究している私としては、その学問がどういう法則で成り立っているかを考えるきっかけにもなり、刺激を受けています。少し大袈裟な言い方をすれば、哲学の知的伝統を受け継ぐ一人として、さまざまな分野に関心を持ち続け、自身の研究に活かしていきたいと思っています。

In this way, the study of modern logic could be described as an academic discipline that straddles the humanities and science in the form of philosophy and mathematics, or as a fusion discipline. Within this discipline, I hold a strong interest in the study of logic and philosophy. From the perspective of the former, I am engaged mainly in the research of proof theory itself, and from the perspective of the latter, I explore the logical philosophy of our predecessors including Brouwer, Hilbert, Frege, and Husserl, and examine how they approached proof theory.

Philosophy, in itself, is an academic discipline that deals with universal themes, and I am interested in various things apart from my direct research themes. In that sense, I am grateful every day that I am able to continue with my research while affiliated with the Waseda Institute of Advanced Study. Regardless of humanities or science, researchers of various disciplines are gathered here, so I am blessed with the opportunity to hear directly from researchers across different fields of study.

One of the valuable spaces that offers this opportunity is the monthly research seminar held once a month, which brings together about 40 researchers of the Institute. During the 90-minute session, two researchers will deliver presentations about their own research work, followed by a question-and-answer session. In interdisciplinary research, there are cases where we are unable to gain an in-depth understanding based on the little that we have heard about. However, for myself, as one who is engaged in research on how logic itself is established, this presents the opportunity to consider the kinds of laws that the discipline is founded upon, offering me a stimulating experience. If I were to exaggerate a little, as one who has inherited the intellectual traditions of philosophy, I hope to continue holding a keen interest in various fields of study, and to apply them to my own research.

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