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Monthly Spotlight / 野津 裕史

特性曲線法により切り開く、科学技術計算の新しい道

科学技術計算を数学的に保証する

現在、科学技術計算は、産業、環境、経済、生物、気象など、現代科学の問題解決に必須のものとなっています。その中で、私が取り組んでいるテーマは、「流れ問題を中心とした偏微分方程式の数値解析」です。これは、科学技術計算を支える、数学解析と数値計算を両輪とする研究分野といえます。

例えば、ある自然現象を理解したい時、科学技術計算では、その現象を表すモデルをつくり、それに基づいてコンピュータで数値計算をして、モデルが正しいかどうかを確かめたり、現象を予測したりします。こうしたモデルの大半は偏微分方程式で書かれていますが、それをコンピュータで計算させるには、連立一次方程式に変えなければいけません。しかし、その変換が数学的に正しいかどうかを保証しないと、モデルに基づく科学技術計算の意味がなくなってしまいます。私は、主にこの課題を解決するための研究に取り組んでいます。

教員から研究者へ

私は修士課程から高校教員を経て、現在、研究者として活動しています。他の方と比べると、少し珍しい経歴かもしれません。教員を辞めて、研究者の道へ進む決断をした際は、経済面での不安や葛藤でとても悩みました。しかし、一度きりの人生、研究への情熱を捨てることはできませんでした。そこで、一念発起して研究者への道を志そうと思い、九州大学のテクニカルスタッフになりました。そこで出会ったのが、現在の研究テーマでもある流れ問題です。

特性曲線法の意義

今回、私の研究で大きな役割を果たしたのが「特性曲線法」という手法です。流れ問題において、流体の運動を表す計算式にNavier-Stokes 方程式がありますが、この方程式は非線形、つまり曲線を描きます。曲線であるこの方程式をコンピュータに計算させるには、先に述べたように連立一次方程式へ変換する必要があります。この変換にあたり、従来使われていたのはSUPG法という手法でしたが、それに代わり、今回用いたのが特性曲線法なのです。 Navier-Stokes 方程式に用いたこの変換手法が、数学的に正しいことを証明したこと、特に時間・空間のメッシュを細かくすると厳密解に必ず近づくことを証明したことが、私の研究の成果の1つといえます。
この手法の歴史自体は古いのですが、もともと粒子の移動を考えた近似方法ですので、流体を計算するのに優れていることは知られていました。しかし、計算に使用するときに非常に複雑になってしまうため、敬遠されていたのです。
このような現状の中で、特性曲線法を用いた計算の複雑性を緩和したことも、改めてこの手法の価値を示すことにつながったのではないでしょうか。

もちろん、それでも複雑性は残るので、ポピュラーな手法であるSUPG法を用いて計算されていた方にとっては、複雑に感じるでしょう。しかし、それを差し引いてもなお、特性曲線法はそれ以上の価値を有していると思います。

図1 熱対流問題へ特性曲線法を応用した際の、自然対流の計算結果(提供/野津裕史講師)

何が可能になるのか

本研究は、科学技術計算を行う研究者にまだ使ってもらってはいませんが、応用可能性としては、例えば燃料電池が挙げられます。燃料電池では水素の拡散をとらえることが重要になるためです。私も、2年前に産業技術総合研究所に所属していたときは、水素の拡散に着目した研究を行っていました。
また、私自身が最も興味をもっているのは航空分野です。例えば、飛行機の設計の際には、形状によりどのぐらいの揚力や抗力が生じるかを計算することが必要ですが、偏微分方程式を私の数値計算方法で計算するとそれらを算出することが可能です。

もちろん、応用の実現までには距離があります。例えば、私の計算手法は非圧縮性流体を想定しているのに対し、飛行機に用いられるのは圧縮性流体であるという違いがありますし、衝撃波をいかにとらえるかといったことも課題です。しかし、モノが移動するという原理自体は自然なものなので、工夫次第で、うまく取り入れることはできると思います。

研究の醍醐味と展望

研究をしていて醍醐味を感じるのは、やはり自身がひらめいた計算方法が、良い結果を示したときです。私の研究の場合、計算方法を思いついたとしても、それがうまくいくかどうかを調べ、さらに数学的に証明するには長い時間がかかります。プログラムを書くこと自体が大変ですし、毎回良い結果がでるわけではないので、実際はとても根気がいる作業だと思います。だからこそ、喜びもひとしおなのです。

また、将来の目標は、さまざまな分野において、方程式がもつニーズに応えられる研究者になることです。先に航空という例を挙げましたが、飛行機で使われる方程式に対して数値計算方法をつくっても、その事例にしか適用できないのです。今後は、式に対する知見を蓄積して、さまざまな要請に応えられるようになりたいですね。

取材・構成:青山聖子/服部剛士
協力:早稲田大学大学院政治学研究科J-School

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